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格林公式
公式(1)叫做格林公式.
此中是的取正向的鸿沟曲线.
微积分的根基公式共有四至公式:1.牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分根基公式2.格林公式，把封闭的曲线积分化为地区内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式，把曲面积分化为地区内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式，与旋度有关。这四至公式构成了典范微积分学教程的骨干。
高斯公式
Φ(x)=x∫a*f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量，如许我们就定义了一个新的函数:
电场强度e在肆意面积上的面积分
证明:我们已证得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)c=f(x)
但是这里x呈现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，如许意义就非常清楚了:
Φ(x)=x∫a*f(t)dt
再假定穿过地区内部且平行于轴的直线与的的鸿沟曲线的交点最多是两点,用近似的体例可证
高阶导数莱布尼兹公式
但Φ(a)=0(积分区间变成[a,a]，故面积为0)，以是f(a)=c
研讨这个函数Φ(x)的性子:1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a(下限)f(t)dt，则Φ与格林公式和高斯公式的联络
公式利用：那么如安在用积分获得上述路程公式呢
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注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表前面括号及此中内容为上标，求xx阶导数
【证明】先证：假定地区的形状以下(用平行于轴的直线穿过地区,与地区鸿沟曲线的交点最多两点)
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可见这也是导数的定义,以是最后得出Φ'(x)=f(x)。
【定义二】曲线积分在内与途径无关是指,对于内肆意一条闭曲线,恒有
(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy
相干先容：对坐标的曲线积分与途径无关的定义